Modelos ARCH

En la definición de estacionariedad débil, dijimos que el proceso debe de tener media, varianza y auto-covarianzas constantes.

Sin embargo, hasta ahora nos hemos concentrado en modelos que buscan modelar la media del proceso. Ignorando posibles efectos en la varianza.

Con series de tiempo, a veces se observa que los residuales son pequeños en valor absoluto por un periodo de tiempo, y luego son bastante grandes por otro periodo. Este fenómeno de volatilidad que cambia en el tiempo es encontrada frecuentemente en modelos para retornos de acciones, tasas de cambio y otras series financieras.

Una forma popular de trabajar con este tipo de series es usando Heteroscedasticidad condicional auto-regresiva, o ARCH por sus siglas en ingles.

El concepto de ARCH fue introducido por Engle(1982), y le hizo ganador de primo nobel en 2003 “for methods of analyzing economic time series with time time series with time-varying volatility (ARCH)”.

La idea básica de estos modelos es que la varianza del error en \(t\) depende del valor de los errores cuadrados en periodos previos.

Si \(u_t\) denota el error del modelo de regresión, y \(\Omega_{t-1}\) el conjunto de información observado hasta \(t-1\), Entonces, el proceso ARCH(q) se puede escribir como, \[\begin{equation}\label{arch} u_t = \sigma_t \varepsilon_t; \quad \sigma^2_t \equiv E(u_t^2| \Omega_{t-1}) = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i u_{t-i}^2 \end{equation}\] donde \(\alpha_i>0\), para \(i=0,1,2,\dots,q\), \(\varepsilon_t\) es ruido blanco con varianza 1, y \(\sigma_t\) es la raíz positiva de \(\sigma^2_t\)

Como esta función depende de \(t\), el modelo es, como su nombre lo indica, heterocedastico. El termino “condicional” se debe a que, a diferencia de las funciones de heteorcedasticidad vistas anteriormente, la función ARCH no es exógena.

Por lo tanto, el modelo escribe la varianza de \(u_t\) condicional al pasado del proceso.

Debido a que la varianza condicional de \(u_t\) es una función de \(u_{t-1}\), es claro que no son independientes. Sin embargo, no están auto-correlacionadas, \[\begin{align*} E(u_t u_{t-1}) & = E(E(u_t u_{t-1} | \Omega_{t-1})) \\ & = E(u_{t-1} \sigma_t E(\varepsilon_{t} | \Omega_{t-1})) = 0 \end{align*}\] donde usamos \(\sigma_t \in \Omega_{t-1}\) y que \(\varepsilon_t\) es una innovación.

Usando un razonamiento similar muestra que \(E(u_t u_s)=0\) para todo \(s<t\). Esto muestra que el proceso ARCH implica heterocedasticidad, no correlación serial!.

Si un ARCH(q) es estacionario en covarianza, entonces \(\sigma^2\), la esperanza no condicional de \(u^2_t\) existe y es independiente de \(t\). Bajo el supuesto de estacionariedad. podemos tomar la esperanza incondicional de y encontramos que, \[\begin{equation} \sigma^2 = \alpha_0 + \sigma^2 \sum_{i=1}^q \alpha_i \end{equation}\]

Por lo tanto, \[\begin{equation} \sigma^2 = \frac{\alpha_0}{1 - \sum_{i=1}^q \alpha_i} \end{equation}\] La condición \(\sum_{i=1}^q \alpha_i < 1\) es requerida para que \(\sigma^2\) sea positiva, y entonces es una condición necesaria para estacionariedad. Claramente es necesario que las varianzas \(\sigma_t\) sean positivas y por eso tenemos la restricción \(\alpha_i > 0\) para todo \(i\)

Desafortunadamente, el modelo ARCH(q) no ha sido muy satisfactorio cuando ha sido usado en la practica. Muchas series financieras presentan volatilidad persistente, pero la correlación entre valores sucesivos de \(u^2_t\) no es muy alta (Pagan, 19996)

Para acomodar estos hechos empíricos, \(q\) debe de ser grande. Pero si \(q\) es grande, el modelo ARCH(q) tiene muchos parámetros que se deben estimar.

Y el requerimiento que todos las \(\alpha_i\) sean positivos puede no ser satisfecho si no es impuesto explícitamente. Por lo cual, necesitamos un modelo que pueda modelar este tipo de fenómenos.

Modelos GARCH

El modelo ARCH generalizado, o GARCH(p,q), propuesto por Bollerslev (1986), es mucho más usado en la practica que el modelo ARCH original.Podemos escribir el proceso GARCH(p,q) como, \[\begin{equation}\label{garch} u_t = \sigma_t \varepsilon_t; \quad \sigma^2_t \equiv E(u_t^2| \Omega_{t-1}) = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \delta_j \sigma_{t-j}^2 \end{equation}\]

O usando el operador de rezagos, \[\begin{equation}\label{eq:garch} \sigma^2_t = \alpha_0 + \alpha(L) u_{t}^2 + \delta(L) \sigma_{t-1}^2 \end{equation}\] donde todos los parámetros en la representación auto-regresiva de orden infinito, \([1-\delta(L)]^-1\alpha(L)\), no puede ser negativo.

Esta notación nos muestra que hay un gran parecido entre el proceso GARCH(p,q) y el proceso ARMA(p,q). Si dejamos que \(\delta(L) = \phi(L)\), \(\alpha(L)=\theta(L)\), \(\sigma^2_t=x_t\), y \(u^2_t=\varepsilon_t\). El proceso GARCH es formalmente igual a un ARMA con el coeficiente de \(\varepsilon_t\) igual a cero.

Estas similitudes esconden unas diferencias importantes, en un proceso GARCH, \(\sigma^2_t\) no es observable y \(E(u_t^2)=\sigma^2_t \neq 0\)

El modelo más sencillo, y popular, es el GARCH(1,1), el cual podemos escribir como, \[\begin{equation} \sigma^2_t = \alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \delta_1 \sigma^2_{t-1} \end{equation}\]

Bajo la hipótesis de estacionareidad de las covarianzas, encontramos, \[\begin{equation} \sigma^2 = \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\delta_1} \end{equation}\] Con las restricciones que, \(\alpha_1+\delta_1 < 1\) y \(\alpha_0 > 0\)

• El GARCH(1,1) funciona bastante bien en la practica.
• En muchos casos, este no puede ser rechazado contra modelos GARCH(p,q) más generales.
• Una regularidad empirica encontrada en muchos articulos es que el estimador \(\hat{\alpha_1}\) es pequeño y positivo, y \(\hat{\delta_1}\) más grande.
• Además, la suma de coeficientes \(\hat{\alpha_1} + \hat{\delta_1}\), entre 0.9 y 1. Lo cual indica alta persistencia.

GARCH - Extensiones

Una extensión es el modelo GARCH integrado o IGARCH, propuesto por Engle y Bollerslev (1986), este se define como: \[\begin{equation}\label{Igarch} u_t = \sigma_t \varepsilon_t; \quad \sigma^2_t \equiv E(u_t^2| \Omega_{t-1}) = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \delta_j \sigma_{t-j}^2 \end{equation}\] donde, \(\sum_{i=1}^q \alpha_i + \sum_{j=1}^p \delta_j = 1\).

Un caso especial de este es el modelo EWMA (Exponential Weighted MA), tambien conocido como el modelo de Risk Metrics de JP Morgan, este es: \[\begin{equation}\label{ewma} \sigma^2_t \equiv E(u_t^2| \Omega_{t-1}) = \alpha_0 + \lambda u_{t-i}^2 + (1-\lambda) \sigma_{t-j}^2 \end{equation}\]

Identificación - Garch

Al igual que en los modelos ARMA podemos usar la FACE y la FACPE, en este caso, usando los residuales cuadrados del modelo.

Distribución estacionaria - GARCH

Antes de estimar este tipo de procesos es importante conocer la distribución estacionaria de los errores. En un proceso ARMA, la distribución estacionaria de \(u_t\) es normal cuando las innovaciones \(\varepsilon_t\) son normal ruido blanco.

Este no es el caso en los procesos ARCH y GARCH, ya que el mapeo de \(\varepsilon_t\) a \(u_t\) es no lineal.

Por simplicidad trataremos solo el caso del ARCH(1). Para un ARCH(1) con innovaciones ruido blanco normales la distribución condicional de \(u_t\) a \(\Omega_{t-1}\) es normal, En general, esto es verdad para cualquier proceso GARCH(p,q).

Dado que la varianza de esta distribución es \(\sigma_t^2\) el cuarto momento es \(3\sigma_t^4\)

Entonces, para un proceso ARCH(1), \(\sigma^2_t = \alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2\), sería \[\begin{equation} E(u_t^4 | \omega_{t-1}) = 3(\alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2)^2 = 3\alpha_0^2 + 6\alpha_0\alpha_1 u_{t-1}^2 + 3\alpha_1^2 u_{t-1}^4 \end{equation}\]

Si asumimos que el cuarto momento incondicional, \(m_4\) existe, obtenemos, \[\begin{equation} m_4 = 3\alpha_0^2 + 6 \frac{\alpha_0^2\alpha_1}{1-\alpha_1} + 3\alpha_1^2 m_4 \end{equation}\]

Resolviendo por \(m_4\), \[\begin{equation} m_4 = \frac{3\alpha_0^2 (1 + \alpha_1)}{(1-\alpha_1)(1-3\alpha_1^2)} \end{equation}\] Este resultado implica que \(3\alpha_1^2 < 1\) de lo contrario el momento no existe.

Esta ecuación además implica que \(m_4 > 3 \sigma^4 = \frac{3\alpha_0^2}{(1-\alpha_1)^2}\). Por lo tanto \(u_t\) no puede ser normal.

Estimación - GARCH

La conclusión anterior dificulta un poco la estimación de estos modelos GARCH. La idea que surge dado que estamos estimando modelos heteroscedasticos es usar mínimos cuadrados generalizados factibles.

El primer paso sería estimar la regresión MCO o MC no-lineales y obtener los residuales \(\hat{u_t}\)

El segundo paso consistiría en estimar los parámetros del GARCH, tratando los \(\hat{u_t}^2\) como si fueran los errores cuadrados verdaderos, usando MCO.

Y finalmente, estimar la regresión original, usando mínimos cuadrados ponderados, donde los pesos son proporcionales a la inversa de la raíz cuadrada de las predicciones de \(\hat{u_t}^2\). Este método es poco usado ya que es asintoticamente ineficiente.

El método más popular para estimar modelos GARCH es asumir que los errores se distribuyen normal y usar máxima verosimilitud. Podemos escribir un modelo de regresión con errores GARCH, definidos en función de un proceso de innovación como, \[\begin{equation} \frac{x_t - Z_t\beta}{\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)} = \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim N(0,1) \end{equation}\]

La función de heteroscedasticidad \(\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)\) es definida para nuestra elección de \(p\) y \(q\) con un modelo para la media \(Z_t\beta\). Por lo tanto depende no solo de \(\alpha\) y \(\delta\), si no también de \(\beta\).

La función de densidad condicional de \(x_t\) en \(\Omega_{t-1}\) es entonces, \[\begin{equation}\label{eq:dens} \frac{1}{\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)}\phi\left(\frac{x_t - Z_t\beta}{\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)}\right) \end{equation}\] donde \(\phi(.)\) es la función de densidad de una normal estándar.

El primer factor de la ecuación es un Jacobiano que refleja que la derivada de \(\varepsilon_t\) con respecto a \(x_t\) es \(\sigma_t^{-1}(\beta,\alpha,\delta)\). Si tomamos el logaritmo, encontramos que la contribución de la observación \(t\) es, \[\begin{equation} l_t(\beta,\alpha,\delta) = -\frac{1}{2}\log 2\pi -\frac{1}{2}\log(\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)) - \frac{1}{2}\frac{x_t - Z_t\beta}{\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)} \end{equation}\]

Desafortunadamente esta expresión no puede ser evaluada de forma directa. El problema se deriva de la función \(\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)\) definida implícitamente por la ecuación GARCH. Esta ecuación recursiva no constituye una definición completa, ya que no tenemos valores iniciales.

Al tratar de encontrar estos valores nos encontramos con el problema que no existe una función de densidad estacionaria para el GARCH.

Si tenemos un ARCH(q), podemos solucionar este problema condicionando en las primeras q observaciones. Ya que, la función \(\sigma_t(\beta,\alpha,\delta)\) depende solo de los \(q\) rezagos del error. Sin embargo, en el modelo GARCH(p,q) también necesitamos los primeros p valores de \(\sigma_t^2\). Lo cual hace necesario usar algún procedimiento ad-hoc para los valores iniciales.

Validación - GARCH

Podemos usar ARCH-LM, este consiste en obtener los residuales cuadrados, y estimar la regresión de nuevo incluyendo estos residuales como la variable dependiente y los residuales cuadrados rezagados como regresores.

Predicción - GARCH

Los componentes GARCH no afectan la predicción de la media del proceso. Pero tendrán efectos sobre el error de la predicción, ya que este cambiara basado en los errores pasados.

A medida que el horizonte de predicción crece este error de predicción converge al error de predicción del modelo ARIMA.